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L'âge de la grand-mère

Mathematiques
Niveau :

Chaque année, à Pâques, Grand-Mère réunit ses quatre petits enfants dont deux sont jumeaux.

La première année, elle constate que la somme des âges de trois d'entre eux est égale à l'âge du quatrième.

Quelques années plus tard, elle remarque que la somme des âges de trois d'entre eux est le triple de l'âge du quatrième.

Quand le nombre d'années écoulées depuis la première fois est la moitié de la somme des âges de cette première fois, l'un des petits enfants vient d'atteindre sa majorité et elle constate que la somme de leurs âges actuels est égale au sein.

Quel âge a Grand-Mère ?
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Réponse : 72

Explications : Première année : deux enfants ont l'âge X, un enfant à l'âge Y et un enfant l'âge Y. On peut avoir X + Y + Z = X donc X + Y = Z (1).

Quelques années plus tard : les âges des enfants sont : 2(X + N), Y + N et Z + N.

On ne peut avoir 2(X + N) + (Y + N)= 3(Z + N) car alors 2X + Y = 3Z ce qui contredit l'égalité (1).

On peut avoir (X + N) + (Y + N) + (Z + N) = 3(X + N) car alors Y + Z = 2X, et en reportant dans l'égalité (1), on aurait 2Y + Z = 2 donc Y = 0 ce qui est impossible.

On a donc l'égalité 2(X + N) + (Z + N) = 3(Y + N) qui est équivalente à 2X + Z = 3Y (2)

Des égalités (1) et (2) on tire Y= 2X, 2 = 4X.

La somme des âges la première année est donc X + X + 2X + 4X = 8X.

La dernière rencontre a donc lieu 1/2 * 8x = 4x années plus tard.

Dernière rencontre : Les âges des enfants sont donc : 2 * 5X, 6X et 8X.

Puisqu'un enfant a 18 ans, 6X = 18, X = 3

Les enfants auront donc deux fois 15 ans, 18 ans, 24 ans.

La Grand Mère a (2 X 15) + 18 + 24 = 72 ans.