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L'énigme de l'émir

Mathematiques
Niveau :

Un émir se rend en limousine de son palais à son aéroport personnel sur son autoroute privée toujours à la même vitesse.

Un jour, le chauffeur augmente la vitesse de 20km.h et fait ainsi gagner 2 min à l'émir.

Le lendemain, le chauffeur diminue la vitesse de 20km.h et fait ainsi perdre 3 min à l'émir.

Quelle est la distance en Km séparant le palais de l'aéroport ?
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Réponse : 20

Explications : Habituellement, v=d/t (v et t sont des constantes qu'on ne connaît pas pour l'instant) donc d=v*t
Le jour où il accélère de 20 km/h, soit 20 km/60min soit 1/3 km/min, il met 2 minutes de moins :
d=(v+1/3)*(t-2)
Le jour où il ralentit de 20 km/h, il met 3 minutes de plus :
d=(v-1/3)*(t+3)

On résout alors le système :
d=(v+1/3)*(t-2)
d=vt-2v+t/3-2/3
Or d=vt
vt=vt-2v+t/3-2/3
0=-2v+t/3-2/3
2v=t/3-2/3
v=t/6-1/3

d=(v-1/3)*(t+3)
d=vt+3v-t/3-1
0=3v-t/3-1
On remplace par la valeur de v trouvée précédemment :
0=3(t/6-1/3)-t/3-1
0=3t/6-1-2t/6-1
0=t/6-2
t=2*6=12
temps habituel : 12 minutes

On avait :
v=t/6-1/3
donc v=12/6-1/3=6/3-1/3=5/3
vitesse habituelle : 5/3 km/min (soit 60*5/3=100 km/h)

d=12*5/3=20
Distance : 20 km
Ouf ! On y est ou presque... Juste une petite vérification pour la route :
20 km à 100 km/h, ça fait 20/100=0,2 heures soit 12 minutes
20 km à 120 km/h, ça fait 20/120=(0,5/3) d'heures soit 10 minutes
20 km à 80 km/h, ça fait 20/80=0,25 heures soit 15 minutes
Et voilà !