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Le problème des pirates

Mathematiques
Niveau :

Cinq pirates ont à se partager un magot de 12 lingots d'or.

Respectueux de leurs anciens, ils ont décidé de procéder de la façon suivante :

- Le plus âgé d'entre eux propose une répartition des lingots (par exemple, tout pour lui...).
- Les pirates votent pour ou contre cette répartition.
- Si la majorité l'accepte, le partage est entériné. Sinon, le plus âgé est éliminé et les autres se partagent le magot toujours selon le même procédé.

Sachant que ces pirates sont tous à la fois cupides et intelligents, combien de lingots le plus âgé va-t-il obtenir ?

N.B. La majorité s'entend ici selon le sens classique : pour qu'un vote soit accepté, il faut que le nombre de voix pour soit strictement supérieur à la moitié du nombre de votants.
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Réponse : 9

Explications : Commençons par voir ce qui se passerait à la fin du jeu : si les 3 premiers votes sont refusés, il ne reste que les deux plus jeunes pirates. À ce moment là, quel que soit le partage proposé par le plus âgé des deux, le plus jeune vote contre, le partage est alors refusé et le plus jeune obtient la totalité du magot.

Donc, lorsqu'il y a trois pirates en lice pour le magot, le plus âgé des trois peut aisément faire accepter le partage suivant : 11 lingots pour lui, 1 pour le deuxième et aucun pour le plus jeune. Le deuxième votera pour ce partage puisque sinon il n'obtiendrait rien. Le partage est donc accepté à deux voix contre une (celle du plus jeune qui n'obtient rien).

Lorsqu'il y a quatre pirates, la situation est la suivante : si le partage proposé par le plus âgé est refusé, alors le partage effectif sera le précédent, à savoir 11 lingots pour le deuxième, 1 pour le troisième et aucun pour le dernier.

Le plus âgé des quatre doit se trouver deux alliés, c'est-à-dire faire une proposition qui attribue plus de lingot que la précédente à deux autres pirates. Pour en obtenir lui-même le plus possible, il va donc proposer 1 lingot au dernier pirate et 2 à l'avant-dernier (pour s'allier le deuxième, il faudrait lui proposer 12 lingots, ce qui n'est clairement pas optimal pour lui). Lui-même en obtient donc 9.

Nous pouvons désormais conclure : si le partage proposé par le plus âgé des cinq pirates est refusé, le partage effectif sera : 9 lingots pour le deuxième, 2 pour le quatième et 1 pour le dernier. Les alliés les moins coûteux pour le doyen des cinq pirates sont donc le troisième et le cinquième, à qui il proposera respectivement 1 et 2 lingots. Ajouté à sa propre voix, cela fait trois voix contre deux et ce partage sera entériné. C'est par ailleurs le partage le plus profitable possible pour le doyen.

Le doyen peut obtenir 9 lingots.