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Les billes

Mathematiques
Niveau :

Avec trois pesées et une balance à plateau, comment peut-on identifier la bille (parmi les douze billes numérotées) qui est différente des autres (soit plus légère soit plus lourde) ?
Réponse Indice 1 Indice 2
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Réponse : Pour résoudre ce problème, nous introduisons la notion de cheminement.

Le cheminement d'une pièce est la succession des positions qu'elle occupe au cours des trois pesées :
G si elle est sur le plateau de gauche,
D si elle est sur le plateau de droite,
X si elle ne participe pas à cette pesée.

À partir des résultats des trois pesées, il est facile de déterminer le cheminement de la pièce qui est différente des autres.
Par exemple, si à la première pesée la balance a penché à gauche, à la deuxième pesée elle était équilibrée, et à la troisième elle a penché à droite, on sait que la pièce recherchée a suivi soit le cheminement GXD (et alors elle est plus lourde que les autres), soit le cheminement DXG (et elle est plus légère que les autres).

Pour que les résultats des pesées permettent d'identifier sans ambiguïté la pièce recherchée, il faut donc que toutes les pièces aient des cheminements différents. Il faut aussi éviter que deux pièces aient des cheminements "opposés" (c'est-à-dire que l'une soit toujours dans le plateau de droite quand l'autre est dans le plateau de gauche et vice versa, comme GGD et DDG), car dans ce cas on ne peut pas savoir si une pièce est trop lourde ou l'autre est trop légère.

Le problème se ramène donc à affecter un cheminement à chaque pièce en respectant les règles suivantes :

1. deux pièces distinctes n'ont jamais le même cheminement.
2. deux pièces distinctes n'ont jamais des cheminements "opposés".
3. aucune pièce n'a le cheminement XXX (car si la pièce qui est différente des autres ne participe à aucune pesée on n'aura aucun moyen de savoir si elle est plus lourde ou plus légère).
4. à chaque pesée il doit y avoir autant de G que de D.

On peut maintenant dresser la liste des 3x3x3 = 27 cheminements possibles et chercher à en sélectionner 12 satisfaisant ces quatre règles. En supprimant le cheminement interdit XXX, on peut regrouper les autres en 13 paires de cheminements opposés deux à deux.

Pesée
1 X X X X X X X X D G D G D G D G D G D G D G D G D G
2 X X D G D G D G X X X X X X D G D G D G G D G D G D
3 D G X X D G G D X X D G G D X X D G G D X X D G G D br

Il suffit alors de sélectionner un cheminement dans chaque paire sauf une, en veillant à respecter la règle n° 4.
On constate rapidement que chaque pesée comporte nécessairement 4 pièces dans chaque plateau, et les solutions s'ensuivent.

les deux premieres pesées sont determinantes
il faut procéder par élimination