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Les Gares d'Autocars

Mathematiques
Niveau :

Chacune des gares routières desservies par la compagnie d'autocars délivre autant de billets différents qu'il y a de gares, à l'exception d'elle-même, bien sûr. Sur chaque billet sont indiqués la gare où le billet a été achété et la gare de destination.

La compagnie dessert depuis ce matin plusieurs gares supplémentaires, et de ce fait, a dû faire imprimer 76 types de billets différents supplémentaires.

Combien de gares dessert actuellement la compagnie ?
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Réponse : 12

Explications : Soit n = nombre de gares desservies auparavant,

n-1 billets émis par chacune des gares, soit pour l'ensemble : n(n-1) billets.

p = nombre de gares supplémentaires

Il y a donc maintenant : ( n+p) (n+p-1) billets

Le nombre de billets supplémentaires est : (n+p)(n+p-1) -n(n-1)=2np + p² - p.

D'où : p(2n+p-1)=76
p 1
2n+p-1 est de parité différente de p.

La seule possibilité est : p=4 et 2n+p-1=19

On déduit n=8 et n+p=12.