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Quand deux logiciens jouent au ping-pong

Enigmes
Niveau :

Il y a 3 hommes, Philippe, Serge et Gilles.
Gilles dit : "J'ai 2 filles. "
Il donne la somme des âges à Serge et le produit à Philippe sans que les deux ne puissent regarder le résultat de l'autre.
Serge dit : "Je ne sais pas."
Philippe dit : "Moi non plus."
Serge dit : "Rontudju ! J’y arrive pas."
Philippe dit : "Crévindieu, je suis nul, je donne ma langue au chat."
Serge dit : "C'est la cata, je ne trouve toujours pas."
Philippe dit : "Eureka, j'ai trouvé."

Quel est l'âge des 2 filles (on considère que les âges ne sont pas nuls) ?
Réponse
Donner votre langue au chat ?

Réponse : Solution : Le résultat est 1 et 6.

Démonstration
1. La 1ère réponse négative de Serge élimine les cas 2 = 1 + 1 et 3 = 1 + 2
2. La 2e réponse négative de Philippe élimine tous les produits p qui sont des nombres premiers car la seule solution serait p = 1 * p

Lemme 1
Cas où les âges sont (2, 2)
- Serge parle :
(La somme est de 4)
4 = 2 + 2 ou 3 + 1
Donc il ne peut se prononcer.
- Philippe parle :
(Le produit est 4)
4 = 2 * 2 ou 4 * 1
Donc il ne trouve pas.
- Serge se dit alors que la solution ne peut être que (2, 2) puisque si c'était 3 + 1, alors P = 3 * 1 = 3 et Philippe n'aurait eu qu'une seule solution possible et aurait ainsi pu répondre.

Lemme 2
Cas où les âges sont (1, 4)
- Serge parle :
(La somme est 5)
5 = 1 + 4 ou 2 + 3
Donc il ne peut se prononcer.
- Philippe parle :
(Le produit est 4)
4 = 1 * 4 ou 2 * 2
Donc il ne trouve pas.
- Serge parle :
La réponse de Philippe ne lui apporte rien d'autre que le point 2 ci-dessus
Donc il ne sait toujours pas
- Philippe parle :
Si les âges étaient (2, 2), Serge aurait trouvé au coup précédent (voir lemme1). Comme il n'a pas trouvé, c'est que la solution est (1, 4).

Lemme 3
Cas où les âges sont (2, 3)
- Serge parle :
(La somme est 5)
5 = 1 + 4 ou 2 + 3
Donc il ne peut se prononcer.
- Philippe parle :
(Le produit est 6)
6 = 1 * 6 ou 2 * 3
Donc il ne trouve pas.
- Serge parle :
La réponse de Philippe ne lui apporte rien d'autre que le point 2 ci-dessus
Donc il ne sait toujours pas
- Philippe parle :
La réponse de Serge ne lui apporte rien
Donc il ne sait toujours pas
- Serge parle :
si les âges étaient (1, 4), Philippe aurait trouvé au coup précédent (voir lemme 2). Comme il n'a pas trouvé, c'est que la solution est (2, 3).
Cas actuel
Cas où les âges sont (1, 6)
- Serge parle :
(La somme est 7)
7 = 1 + 6 ou 2 + 5 ou 3 + 4
Donc il ne peut se prononcer.
- Philippe parle :
(Le produit est 6)
6 = 1 * 6 ou 2 * 3
Donc il ne trouve pas.
- Serge parle :
La réponse de Philippe ne lui apporte rien d'autre que le point 2 ci-dessus
Donc il ne sait toujours pas
- Philippe parle :
La réponse de Serge ne lui apporte rien
Donc il ne connait toujours pas la réponse
- Serge parle :
La réponse de Philippe ne lui apporte rien
Donc mystère !
- Philippe parle :
Si les âges étaient (2, 3), Serge aurait trouvé au coup précédent (voir lemme3). Comme il n'a pas trouvé, c'est que la solution est (1, 6).